Bằng chứng AI đầu tiên xứng đáng được đăng trên tạp chí toán học hàng đầu đã xuất hiện và sẽ không phải là lần cuối cùng.

Nghiên cứu AI Sao chép URL vào khay nhớ tạm Chia sẻ bài viết này Đến phần bình luận Bằng chứng AI đầu tiên xứng đáng được đăng trên tạp chí toán học hàng đầu đã xuất hiện và sẽ không phải là lần cuối cùng Maximilian Schreiner Xem hồ sơ LinkedIn của Maximilian Schreiner Ngày 21/5/2026 Nano Banana Pro được gợi ý bởi THE DECODER Một mô hình suy luận nội bộ từ OpenAI đã bác bỏ giả thuyết khoảng cách đơn vị do nhà toán học người Hungary Paul Erdős đưa ra. OpenAI đã công bố kết quả này cùng với một bài báo đi kèm do chín nhà toán học bên ngoài viết, những người đã xác minh, rút gọn và bình luận về bằng chứng. Bản thân vấn đề này đơn giản một cách đáng ngạc nhiên: đặt một số điểm nhất định lên một tờ giấy. Có bao nhiêu cặp điểm có thể cách nhau chính xác một đơn vị? Năm 1946, Erdős đã đưa ra giả thuyết rằng một cách sắp xếp đơn giản trên một lưới vuông hơi xiên đã gần tối ưu. Cách sắp xếp đó tạo ra một số cặp chỉ tăng nhanh hơn một chút so với số điểm. Theo nhà toán học Thomas Bloom, Erdős đã treo giải 500 USD cho một bằng chứng bác bỏ. Vấn đề này được coi là "có lẽ là vấn đề nổi tiếng nhất (và dễ giải thích nhất) trong hình học tổ hợp", theo tài liệu tham khảo tiêu chuẩn Research Problems in Discrete Geometry. Một cấu trúc tốt hơn sau tám thập kỷ Mô hình của OpenAI đã tìm ra một cách sắp xếp điểm mới tạo ra nhiều cặp khoảng cách đơn vị hơn đáng kể so với lưới vuông cổ điển. Will Sawin của Đại học Princeton ước tính mức tăng khoảng một phần trăm cặp cho mỗi lần số điểm tăng gấp đôi. Con số đó nghe có vẻ nhỏ. Trong bối cảnh này, nó rất đáng kể, vì giả thuyết của Erdős cho rằng hầu như không thể có được mức tăng như vậy. Tuy nhiên, vấn đề vẫn chưa được giải quyết hoàn toàn: một giới hạn trên lý thuyết đã được biết đến từ năm 1984 vẫn cao hơn nhiều so với những gì cấu trúc mới đạt được. Điều đáng chú ý là các công cụ đến từ đâu: không phải hình học, mà là lý thuyết số đại số. Thay vì làm việc với các lưới điểm cổ điển, mô hình đã sử dụng các hệ thống số phức có đối xứng nội tại chuyển thành các mẫu điểm đặc biệt dày đặc. Những công cụ này đã là tiêu chuẩn trong lý thuyết số trong nhiều thập kỷ. Tuy nhiên, việc áp dụng chúng vào một vấn đề cơ bản trong hình học phẳng được các nhà toán học liên quan coi là xa vời. Tại sao con người bỏ lỡ giải pháp Thomas Bloom viết trong đóng góp của mình cho bài báo đi kèm rằng bốn điều kiện phải hội tụ để một người có thể tìm ra giải pháp này: bạn phải dành thời gian nghiêm túc cho vấn đề, đặt cược chống lại ý kiến đã được thiết lập của Erdős và thực sự cố gắng bác bỏ, muốn chuyển đổi cấu trúc ban đầu sang thế giới các trường số, và đủ quen thuộc với lý thuyết trường lớp khá chuyên biệt. "AI đã đáp ứng tất cả các tiêu chí này", Bloom viết. Nó kết hợp "mức độ kiên nhẫn siêu phàm với sự quen thuộc với một loạt các công cụ kỹ thuật khổng lồ." Sawin bổ sung một lý do kỹ thuật tại sao các khái quát rõ ràng lại thất bại. Cách tiếp cận tự nhiên sẽ là chọn một hệ thống số mở rộng và xem xét các phần lớn hơn và lớn hơn của nó, về cơ bản là làm phồng lưới cũ trong một thế giới số phức tạp hơn. Theo Sawin, điều đó chỉ dẫn trở lại giới hạn Erdős cũ. Mánh khóe chính của mô hình là ngược lại: nó giữ nguyên tỷ lệ cố định trong mỗi hệ thống số nhưng chuyển sang các hệ thống số ngày càng phong phú hơn ở mỗi bước. Sawin viết rằng tại sao sự chuyển đổi cụ thể đó lại hiệu quả không rõ ràng đối với bất kỳ con người nào. Chỉ một tháng trước khi giải pháp AI ra đời, Bloom đã liệt kê vấn đề này trong một bài đăng trên blog là một trong "10 bài toán Erdős hàng đầu" của ông. Động lực của ông là một số nhà quan sát đã xem xét các giải pháp AI trước đây cho các bài toán Erdős đơn giản hơn và kết luận rằng tất cả các câu hỏi của nhà toán học này đều tầm thường. Bloom muốn chứng minh rằng nhiều bài toán Erdős đã tạo ra những phương pháp sâu sắc trong nhiều thập kỷ. Phỏng đoán khoảng cách đơn vị là bài toán hình học rời rạc duy nhất trong danh sách của ông, chính xác là vì nó "đã chống lại việc chứng minh trong nhiều thập kỷ". Bloom chỉ ra rằng cận trên được thiết lập vào năm 1984 bởi Spencer, Szemerédi và Trotter đã không được cải thiện trong hơn 40 năm: "Bài toán này là một ví dụ tuyệt vời cho thấy, mặc dù có một số kết quả ngoạn mục trong những năm gần đây trong hình học rời rạc, chúng ta vẫn còn một chặng đường dài để hiểu ngay cả một số câu hỏi cơ bản nhất." Ông không ngờ một AI sẽ giải quyết được bài toán cụ thể này chỉ một tháng sau đó: "Mặc dù tôi tin rằng AI cuối cùng sẽ đạt được một số tiến bộ trong ít nhất một vài bài toán trong danh sách đó, tôi không ngờ điều này lại xảy ra chỉ một tháng sau đó!" Phản ứng từ cộng đồng toán học Noga Alon, một trong những nhà tổ hợp hàng đầu, gọi kết quả này là một "thành tựu xuất sắc" và mô tả phát hiện đáng ngạc nhiên là một "cấu trúc và phân tích của nó áp dụng các công cụ khá tinh vi từ lý thuyết số đại số một cách thanh lịch và khéo léo". Nhà toán học đoạt giải Fields Tim Gowers viết rằng nếu một người nộp bài báo cho Annals of Mathematics và yêu cầu đánh giá nhanh, "tôi sẽ đề nghị chấp nhận mà không chút do dự". Không có bằng chứng do AI tạo ra trước đây nào đạt được mức độ này. Gowers gọi đây là "một cột mốc trong toán học AI". Nhà lý thuyết số Arul Shankar xem công trình này là bằng chứng cho thấy các mô hình AI hiện tại "không chỉ là những người trợ giúp cho các nhà toán học mà còn có khả năng có những ý tưởng độc đáo, tài tình và sau đó thực hiện chúng thành công". Bloom làm rõ rằng: bằng chứng không đưa ra bất kỳ công cụ hình học mới nào về cơ bản, loại công cụ mà một bằng chứng hoàn chỉnh của phỏng đoán có thể sẽ yêu cầu. Nhưng nó cho thấy rằng "có nhiều điều mà các cấu trúc lý thuyết số phải nói về những loại câu hỏi này hơn chúng ta nghi ngờ". Ông kỳ vọng "nhiều nhà lý thuyết số đại số sẽ xem xét kỹ các bài toán mở khác trong hình học rời rạc trong những tháng tới". Tại sao trường hợp này lại khác biệt Các hệ thống AI đã giải quyết hoặc giải quyết một phần toàn bộ một loạt các bài toán Erdős trong những tháng gần đây. Nền tảng erdosproblems.com, do Bloom duy trì, liệt kê khoảng 1.0